無矛盾律の正当化は不可能であり，論理的原理とは言えない Łukasiewicz (1910/1971) "On the Principle of Contradiction”

Metaphysica logic PNC
  • Jan Łukasiewicz (1910/1971) "On the Principle of Contradiction in Aristotle" trans. by V. Wedin. The Review of Metaphysics 24(3), 485-509.

独語縮約版の英訳．Articles on Aristotle 3 (1979) のヴァージョンとの関係は未確認だが，少なくとも同じ論文の訳稿．

Wedin が論文の性格について冒頭に長い訳者注をつけている: "The article is based on a longer study which appeared in Polish the same year [...] This latter study was the most important of his early writings and figured influentially in the logical-philosophical renaissance of early twentieth century Poland. Lukasiewicz evidently held the study in high regard himself, since in 1955 (a year before his death) he had planned an English translation of it" (485). また同じ注で Wedin は，本論文が三つの意味で Łukasiewicz の論理観の発展途中の段階を示すと指摘する: (1) ブール代数と命題計算の区別に気づいていないこと，(2) 基本法則の改訂が「非アリストテレス的論理学」をもたらすという示唆からして，1910年時点で既に多値論理の可能性に気づいていたように見えること，(3) 無矛盾律の論証不可能性の理由のうち二つは後に再定式化されていること．

現代論理学はアリストテレス論理学に比べて改善を示しているが，それは現代幾何学がエウクレイデス『原論』から改善しているのと同種の改善である．だから，平行線公準の吟味から非ユークリッド幾何学が生まれたように，基本法則 (Grundgesetze) の吟味から非アリストテレス的論理体系ができるかもしれない．最高の諸法則がどう定式化されるべきか，互いにどう関係するか，妥当する領域 (Geltungsbereich) は無制約か否か，何によって正当化されるか，を記号論理の観点から問い直すべきだ．以下では無矛盾律に関するこうした研究の成果を粗描する．

  1. アリストテレスは無矛盾律を三通りに定式化するが，その違いは明示していない．
    • (a) 存在論的定式化: 「同時に同じことに基づいて同じものに帰属しかつ帰属しないことはできない」(Met. Γ3, 1005b19-20)．
    • (b) 論理的定式化:「対立する言明が同時に真でありはしないということは，全ての判断のうち最も確実な判断だ」(Γ6, 1011b13-14)．
    • (c) 心理的定式化: 「同じものが「あり，かつ，ありはしない」と想定することは，誰にもできない」(Γ3, 1005b23-24)．
  2. より正確に表せば，こうなる:
    • (a) 存在論的 (対象論的) 定式化: いかなる対象にも同時に同一の特徴が帰属しかつ帰属しないことはできない．(対象: 何かであるもの (something) (Meinong)．特徴: 対象に述定されるもの．)
    • (b) 論理的定式化: 二つの衝突する (矛盾する) 命題が同時に真ではありえない．(命題 (Aussage): 対象に特徴を帰属させるか否定することに意味が存する知覚可能なシンボル．)
    • (c) 心理的定式化: 同一の意識において，二つの矛盾命題に対応する二つの信念行為をなすことはできない．(信念行為 (Glaubensakt): 独特の心理的機能．確信，認識，信念とも．)
  3. アリストテレス自身，命題の存在論・対象論的意味と，命題に対応する信念の心理的機能とを区別している．
    • 一方で，命題は「しかじかであること」(Sosein)・事態 (Sachverhalte) を示す．
    • 他方で，言明は信念行為 (ὑπόληψις, δόξα) の知覚可能なシンボルである．
      • 前者の側面につき cf. De Int. 4, 17a1-3; 1, 16a16-8. 後者の側面につき De Int. 14, 24b1-3.
  4. 三つの定式化は全て意味が違う．対象が違うからだ．だがアリストテレスにとっては，存在論的原理と論理的原理は論理的に等価だった (Γ7, 1011b26-27)．等価性は言明・命題と客観的事実の一対一対応から必然的に帰結する．
  5. アリストテレスは論理的原理から心理的原理を証明しようと試みた．証明は二つの部分からなる:
    • 「反対のことどもが同一の事柄に帰属することがあってはならず……，否定言明の判断が判断の反対であるのだとすれば，同じ人が同じことを同時に「あり，かつありはしない」と想定することが不可能なのは明らかである」(Γ3, 1005b26-32)．"ἐναντία δ᾽ ἐστὶ δόξα δόξῃ ἡ τῆς ἀντιφάσεως" という難解な一節は De Int. 14, 23a27-39 に従って解釈すべきである．
    • 「同じものについて矛盾対立言明が同時に真であることは不可能だから，同じものに反対のものどもが帰属してもならないことは明らかである．というのも，反対のものどもの一方は同じくらい欠如であるが，他方で実体の欠如だから．欠如はある規定された種の否定である．それゆえ，真なる仕方で同時に肯定しかつ否定することが不可能なら，同時に反対のものが帰属することも不可能である」(Γ6, 1011b15-21)．
    • ここから，証明を次のように定式化できる: もし二つの信念行為が同一の意識において成り立つなら，対立する二つの特徴がこの意識に同時に成り立つ．だが，論理的原理より，これはありえない．
  6. しかし，対立命題に対応する信念行為の両立不可能性を，アリストテレスは示せていない．De Int. 14 に関連する議論があるが，二つの理由から決定的でない:
    • 「対立する」(konträr-entgegengesetzt) は度合いを容れる．アリストテレス自身「より真・より偽」という言い方をする (23b17, 20)．だが，真偽に度合いはありえない．
    • 14章でアリストテレスは「心理学における論理主義」の誤謬を犯している:
      • 彼は信念行為を真・偽と特徴づけるが，信念行為は心理的機能としては感覚等々が真・偽であるのと同程度にしか真・偽でないはずである．真・偽は客観的事物の表象 (Abbildungen der Objective) としての言明にしか属さない相対的特徴である．
      • また彼は論理的帰結 (logische Abfolge) と心理的因果性を混同している (De Int. 13, 23b25-27)．
  7. いずれにせよ，心理的原理については以下のことが言えるはずだ:
    • 心理的原理はアプリオリには示せない．それは高々経験的法則である．
    • 心理的原理はこれまで経験的に示されていない．
    • 心理的原理を示せるかは疑わしい．矛盾したことが主張された例は哲学史にもある (例: ヘーゲル)．ゆえに追加の論拠が必要だが，論拠を足すと原理でなくなる．だから，以下ではこの定式化を考慮しない．
  8. アリストテレスは存在論的・論理的無矛盾律を最終的で証明不可能な法則だと主張するが，そのことを証明していない (cf. Γ4, 1006a10-11)．
  9. 実際，より単純で明証的な原理はある．特に同一律: 各々の対象には，帰属する特徴が帰属する．
    • これは無矛盾律とは異なる; 同一律は否定や論理的乗算 (logical multiplication)1 といった資源を必要としない．
    • 記号論理によって初めて，この問題を明確にできるようになった．
  10. だが同一律でさえ究極的法則ではない．それは真なる命題の定義から論証できる:
    • あらゆるアプリオリな原理は証明可能であり，証明されているのでなければならない．
    • それ自身によって (durch sich selbst) 証明される原理が一つだけある:「肯定的命題は，対象に適切な特徴を与えるとき，真であると私は指定する」．
    • 他の原理は，真である場合，先立つ他の原理から証明される．
  11. アリストテレスは無矛盾律の論証不可能性を宣言しておきながら，その証明を与えようとしている (Γ4, 1006a11-13)．「論駁的」(ἐλεγκτικῶς) という語によって隠されているが，ここには矛盾がある．
    • APr. によれば「論駁」も規則に基づく推論であり，真正の論証とは表面的にしか区別できない．
    • 両者を区別しようとする Γ4, 1006a15-18 は苦し紛れの空虚なもの言い (nichtssagende Verlegenheitsphrase) に過ぎない．
    • アリストテレスによる無矛盾律の最初の証明の両方2は，APr. の定義に実際に一致する．
    • アリストテレスは証明にあたり帰謬法を用いているが，帰謬法は無矛盾律を前程する．ゆえに論点先取である3．
  12. アリストテレスの無矛盾律の論証は以下の通り．前提: 語がある本質的に単一のものを指すとする．
    • 証明1 (Γ4, 1006b28-34): 語 A が，本質的に B であるものを指すとする．すると対象 A は必然的に B である．すると A が B でないことはありえない．
    • 証明2 (Γ4, 1006b11-22): 語 A が，本質的に B であるものを指すとする．すると対象 A が同時に本質的に non-B であることはありえない (さもなければ本質において統一されていないことになる)．
    • 帰謬法的証明1 (Γ4, 1007b18-21):「さらに，もし同一のものに関する全ての矛盾対立言明が同時に真であるなら，全てが同一であるだろうことは明らかである．というのも，ちょうどプロタゴラスの言論を語る人々にとって必然的であるように，或るものを全てのものについて肯定するか否定することがあってよいとすれば，三段櫂船も壁も人間も同一であるだろうから」．
    • 帰謬法的証明2 (Γ4, 1008a28-30):「これに加えて全ての人々が真なることを言い，かつ全ての人々が偽なることを言うこと，また自分自身が偽なることを述べているということで自分自身と合意すること，が帰結する」．
    • 帰謬法的証明3 (Γ4, 1008b12-19):「そこからして，誰もそのような状態にはないし，ものを述べる他の人々にこの言論は属さない，ということは，この上なく明白である．というのも，歩こうと考えるときに，何ゆえメガラへと歩き，静止しないのだろうか．またごく朝まだきに井戸や峡谷に行き当たったとき，そこに足を踏み入れはせず，むしろ，そこに陥ることが同様に良くなくかつ良いとは考えていないごとくに，注意しているように現れるのか．したがって一方がより良く，他方がより良くないと想定していることは明らかである」．
  13. 証明の批判．
    • 証明1は高々二重否定の原理しか示しておらず不適当．これは無矛盾律とは異なる原理であり，二重否定が妥当する対象に無矛盾律が妥当するとは限らない (cf. 「最大の素数」のような矛盾する対象)．
    • 証明2は以下の理由で不適当．
      • 「本質」ないし実体というごく限られた範囲の対象にしか当てはまらない．
      • 実体の存在は蓋然的でしかない．
      • 帰謬法的にしか示せない前提を用いている．
    • 帰謬法的証明はどれも以下の形式的誤謬を犯している:
      • 帰謬法は無矛盾律を前提するため論点先取になる．
      • 示せているのは「全てが矛盾していることはありえない」ということにすぎず，論点のすり替えになっている．
  14. 論点のすり替えという点について付言すると，Γ4 の最後の一節を見れば，一般的な無矛盾律ではなく，何か矛盾のない絶対的真理があるという点を示すことに課題が移行していることが分かる．
  15. この移行には理由がある．
    • Γ5, 1009a22-364 は無矛盾律の対象を現実的に〈あるもの〉に限定している．1010a1-5 では無矛盾律の反対者が〈あるもの〉を感覚的事物に限定していると述べるが，逆に言えば，感覚的世界は厳密に可能的な〈あるもの〉として一定の矛盾を含むと認めている．
    • この観点からすると証明2も明瞭になる: 感覚界は矛盾を含むが，実体的本質の世界は矛盾を免れている．
    • したがって，アリストテレスにとって無矛盾律は一般的存在論的法則ではなく，むしろ実体に関する形而上学的法則であり，現れに妥当するかは明らかでない．
  16. アリストテレスによれば，無矛盾律は最後の (allerletzte) 法則であるのみならず，最高の (supreme) 法則でもある (Γ3, 1005b32-34)．ただしアリストテレスも，他の全ての論理的公理の必要条件だとは述べていない．推論形式と無矛盾律は独立である (cf. APo. I.11, 77a10-22)．
  17. 実際また，記号論理が示すように，多くの論理的原理は無矛盾律と独立である．帰納や演繹の基本法則も全体としては無矛盾律を前提しない．無矛盾律は最高の原理ではない．直接的な証明については，そうは言えないのだ．
  18. 歴史的-批判的論究は以上である．では，無矛盾律の正当化はどこから得られるのか．
    • 無矛盾律は直接的に明証的ではない．明証性 (evidence) は真理の基準にはならないし，そもそも誰にとっても明証的ではない．
    • 無矛盾律は人間の心的組成 (psychical organization) が決定する自然法則として措定できない．心的組成による偽なる命題を規定することは可能だし (e.g. 錯覚)，そもそも心的法則として妥当か怪しい (cf. §7)．
    • 否定の定義から示す (cf. Sigwart) こともできない．アリストテレスはこれを検討し論点先取を疑った (Γ4, 1008b34-b1)．論点先取ではないが，妥当ではない．「A は B でない」が「A は B である」が偽であることを示すとすると，無矛盾律はそこから出てこない．また，「偽なる命題は客観的事物の表象でない」と定義すると，無矛盾律が成り立たないとき，「A が B であり，かつ，ない」なら，「A は B である」が単に偽になる5．
  19. 無矛盾律の証明は矛盾する対象の存在を考慮に入れねばならない．「対象に同一の特徴が同時に属しかつ属さないことは できない」はほぼ確実に偽である．これが真なのは，「対象」が矛盾を含まない対象を指す場合にすぎない．可能なもの (the possible) や現実的なもの (the real) が矛盾を含まないかどうかが問題になる．
    • 数や図形，論理的概念，存在論的概念などの構成的抽象 (constructive abstractions, Begriffsbildungen) は，しばしば吟味の結果矛盾しているとわかる．それらを「作る」のは私たちの精神でも，一旦作られると，無数の関係がそれらにそれ自体として生じる．
    • 現実の対象 (再構成的対象) には矛盾がないように思える．だが，昔から連続的変化に矛盾が疑われてきたことを忘れるべきではない．この疑いが確証されることはありそうにないが，矛盾がないと確証することもできないだろう．
    • 以上二点からして，無矛盾律のほんとうの (realer) 証明が不可能なことは明らかだ．
  20. 無矛盾律は前提としてしか妥当でないので，論理的価値はない．しかし，実践的・倫理的価値はある．無矛盾律なしには，他の命題を偽なる命題から守れない (e.g., 偽証された被疑者は無実を立証できない)．この意味で無矛盾律は人間の知的・倫理的な不完全性のしるしであって，このことは論理的価値への疑念を正当化する．アリストテレス自身，無矛盾律の実践的・倫理的価値に少なくとも感づいてはいた．それゆえアリストテレスは無矛盾律の反対者たちに力強く反対した．ただし彼は，自分の議論の弱さに気づいていたのかもしれない．それゆえに，最終的な公理，争う余地のない教説であると布告したのだ．

  1. 何のことか分かっていないが，"and at the same time" という規定のことらしい．↩

  2. 「両方」が指すのは 12 で挙げられる前半の二つの証明．↩

  3. この次に “It is entirely clear from the above observations that Aristotle commits no contradiction …” と続くが，意味がわからない．↩

  4. 原文は Γ4 とするが，誤り (というか今と別の章立てが念頭に置かれているのかもしれない)．↩

  5. 理路を追えなかった．↩