PNC は実体的述語に限られない Wedin (1982) "Aristotle on the Range of PNC"

Michel V. Wedin (1982) "Aristotle on the Range of the Principle of Non-Contradiction" Logique et Analyse 25(97), 87-92.

古めの論文を見てみる．内容は正直あまり納得できない．アリストテレスの図式に依拠しすぎるほか，「性質個体」を認めてよいかという例の問題もある．

Łukasiewicz, Anscombe そして恐らく Kirwan は，1006B2 8-34 を根拠に，Γ の PNC が実体的述語にのみ当てはまると見なす (制限解釈)．しかしこの解釈は，PNC を一般的原理とする Γ のプログラムと整合しない．以下では，そうした制約を加えない解釈 (一般解釈) が可能であると示す．本文は以下の通り．

したがって，「人間である」ということが何か真なることであるとすれば，二足の動物であることは必然である (というのも，「人間」がこれを意味表示していたものだったから)．

このことが必然であれば，そのとき同一のものが二足の動物でないことがあってはならない (というのも，「必然的にある」は，「人間でありはしないことが不可能である」を意味表示するから)．

したがって，「同一のものが人間であり，かつ人間でありはしない」と言うことが，同時に真であることがあってはならない．(1006B2 8-34)

まず，言葉づかいに気を取られすぎてはいけない: 例が人間であることは制限解釈を確証しないし，「そのとき」「同時に」という言葉づかいも一般解釈を確証しない．

1 の「必然」のスコープによって，議論は二通りに解釈できる．

(A) 条件文全体に係る場合:
1. $\square\forall x (Mx \rightarrow Tx)$
2. $\lnot\Diamond\exists x(Mx \land \lnot Tx)$
3. $\lnot\Diamond\exists x(Mx \land \lnot Mx)$
(B) 帰結にのみ係る場合:
1. $\forall x (Mx \rightarrow \square Tx)$
2. $\lnot\exists x(Mx \land \Diamond\lnot Tx)$
3. $\lnot\Diamond\exists x(Mx \land \lnot Mx)$

このとき B は省略推論になる (2 と 3 の間に (2.1) $\lnot\exists x(Mx \land \Diamond\lnot Mx)$ が入る)．また言葉づかいからしても A 解釈が自然．加えて， $Mx$ が本質的述定でなければ B の推論は成り立たない¹．

しかし一方で，A1 も本質的述定にしか成り立たないように見える²．1006a32-34 は A1 の理由付けを行うが，そこでは εἶναι+dat. 構文が示唆する M の本質性が M と T の必然的関係を担保している．というわけで，この PNC の証明は命題の限られたクラスにしか妥当しないだろう．

そして Łukasiewicz, Anscombe は，PNC を実体についての本質的命題に制限する．だが，A1 が属性についての本質的述定をカヴァーするとしても，論証は依然妥当である (e.g. 必然的に，α が白なら α は色である)．したがって，少なくとも実体への制約は不要である．

さらに進んで，A 論証は実は PNC の無制約なヴァージョンも支持していると言えると思われる．理由は以下の通り．

アリストテレスにとって「ソクラテスが白い」は以下の真理条件をもつ:

$\exists x\exists y(Sub(x) \land x=Socrates \land Acc(y) \land y\ is\ in\ x \land Wy)$ ．(ただし $Sub(x), Acc(y)$ は「x は実体個体，y は性質個体」を表す)．

このとき，「ソクラテスが白く，かつ白くない」は以下のように表せる:

$\exists x\exists y(Sub(x) \land x=Socrates \land Acc(y) \land y\ is\ in\ x \land Wy \land \lnot Wy)$ ．

しかるに A3 より， $Wy \land \lnot Wy$ は (連言肢が矛盾する本質的述定なので) 成り立たない．――このようにして，PNC は付帯的述定に拡張できる．

こうした証明は PNC を用いている．――だが，それは解釈の問題ではない．
上記の議論は性質個体の存在と非存在から矛盾を導く議論としても組み直せる．その場合この議論は A3 と無関係になり，A 論証が一般的 PNC を導くとも言えなくなる．――だが，アリストテレスが PNC を一般的に捉えていることは他の箇所からして明らか．また，上記の定式化のほうが，あらゆるカテゴリーが「自体的に存在する」(Δ7) という存在含意を明示している．

Wedin は「B2.1 から B3 が出るには B1 の $\rightarrow$ が厳密含意を意味しなければならない」という言い方をしているが，理解できない．まず B1 がどうあれ B2.1 から B3 は出るし， $\rightarrow$ の解釈は論証のステップに効かないと思う (B1 から B2 は通常の含意で出る)．↩
これもよく分からないが，多分根拠はテクストで，a1 の論理構造ではない (むしろ 1 自体を指示すべきところ)．↩