『後書』I.21 否定的論証の有限性は肯定的論証の有限性から示せる

APo. I.21.

欠如的論証の場合も，止まるだろうことは明らかである，肯定的論証の場合に両方の方向に止まる以上は．というのも，上方へと最後の項から無限に進むことも (「最後の項」と私が言うのは，それ自身が他のいかなるものにも属さず，それに他のものが属するもの，例えば Z である)，最初の項から最後の項へと無限に進むこともない (「最初の項」と私が言うのは，それ自身が他のものに述定されるが，それには他の何ものも述定されないものである)．そして，そうであるなら，否定の場合にも止まるだろう．というのも，属さないことは三通りの仕方で示されるからである．すなわち，あるいは，Γ がそれに属するような全ての項に B が属し，B が属する何ものにも A が属さないか．そのとき BΓ, すなわちつねに一方の隔たりの，無中項な事柄へと進むことが必然的である．というのも，この隔たりは肯定的だから．他方の隔たりは，もし別のより先なるもの，例えば Δ に属さないなら，これは全ての B に属する必要があるだろう．そして一方で他の Δ より先のものに属さないなら，その項は全ての Δ に属する必要がある．したがって，上方への道が止まるとき，A への道も止まるだろうし，それに〔他の項が〕属さない第一の何かがあるだろう．

Φανερὸν δὲ καὶ ἐπὶ τῆς στερητικῆς ἀποδείξεως ὅτι στήσεται, εἴπερ ἐπὶ τῆς κατηγορικῆς ἵσταται ἐπ᾽ ἀμφότερα. ἔστω γὰρ μὴ ἐνδεχόμενον μήτε ἐπὶ τὸ ἄνω ἀπὸ τοῦ ὑστάτου εἰς ἄπειρον ἰέναι (λέγω δ᾽ ὕστατον ὃ αὐτὸ μὲν ἄλλῳ μηδενὶ ὑπάρχει, ἐκείνῳ δὲ ἄλλο, οἷον τὸ Ζ) μήτε ἀπὸ τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸ ὕστατον (λέγω δὲ πρῶτον ὃ αὐτὸ μὲν κατ᾽ ἄλλου, κατ᾽ ἐκείνου δὲ μηδὲν ἄλλο). εἰ δὴ ταῦτ᾽ ἔστι, καὶ ἐπὶ τῆς ἀποφάσεως στήσεται. τριχῶς γὰρ δείκνυται μὴ ὑπάρχον. ἢ γὰρ ᾧ μὲν τὸ Γ, τὸ Β ὑπάρχει παντί, ᾧ δὲ τὸ Β, οὐδενὶ τὸ Α. τοῦ μὲν τοίνυν Β Γ, καὶ ἀεὶ τοῦ ἑτέρου διαστήματος, ἀνάγκη βαδίζειν εἰς ἄμεσα· κατηγορικὸν γὰρ τοῦτο τὸ διάστημα. τὸ δ᾽ ἕτερον δῆλον ὅτι εἰ ἄλλῳ οὐχ ὑπάρχει προτέρῳ, οἷον τῷ Δ, τοῦτο δεήσει τῷ Β παντὶ ὑπάρχειν. καὶ εἰ πάλιν ἄλλῳ τοῦ Δ προτέρῳ οὐχ ὑπάρχει, ἐκεῖνο δεήσει τῷ Δ παντὶ ὑπάρχειν. ὥστ᾽ ἐπεὶ ἡ ἐπὶ τὸ ἄνω ἵσταται ὁδός, καὶ ἡ ἐπὶ τὸ Α στήσεται, καὶ ἔσται τι πρῶτον ᾧ οὐχ ὑπάρχει.

これに対して，B が全ての A に属する一方でいかなる Γ にも属さないなら，A は Γ のうちのどれにも属さない．他方で，このことが示されるべきだとすれば，上の方式を通じてか，この方式を通じてか，あるいは第三の方式を通じて示されるだろうことは明らかである．さて，第一の方式は既に述べられたが，第二の方式は示されるだろう．次のようにして示すことができる．例えば，何かが B に属することが必然的なら，Δ は全ての B に属するがいかなる Γ にも属さない．そしてさらに，もしこれが Γ に属さないだろうとすれば，他のものが Δ に属し，それは Γ には属さない．したがって，より上方のものに属することがつねに止まるなら，属さないことも止まるだろう．

Πάλιν εἰ τὸ μὲν Β παντὶ τῷ Α, τῷ δὲ Γ μηδενί, τὸ Α τῶν Γ οὐδενὶ ὑπάρχει. πάλιν τοῦτο εἰ δεῖ δεῖξαι, δῆλον ὅτι ἢ διὰ τοῦ ἄνω τρόπου δειχθήσεται ἢ διὰ τούτου ἢ τοῦ τρίτου. ὁ μὲν οὖν πρῶτος εἴρηται, ὁ δὲ δεύτερος δειχθήσεται. οὕτω δ᾽ ἂν δεικνύοι, οἷον τὸ Δ τῷ μὲν Β παντὶ ὑπάρχει, τῷ δὲ Γ οὐδενί, εἰ ἀνάγκη ὑπάρχειν τι τῷ Β. καὶ πάλιν εἰ τοῦτο τῷ Γ μὴ ὑπάρξει, ἄλλο τῷ Δ ὑπάρχει, ὃ τῷ Γ οὐχ ὑπάρχει. οὐκοῦν ἐπεὶ τὸ ὑπάρχειν ἀεὶ τῷ ἀνωτέρω ἵσταται, στήσεται καὶ τὸ μὴ ὑπάρχειν.

第三の仕方もあった．もし A が全ての B に属する一方で Γ は属さないなら，A が属するもの全てには Γ は属さない．一方で，このことは，上述のことどもを通じてか，あるいは同様の仕方で示されるだろう．前者の仕方では止まるが，後者の仕方でなら，今度は B が E に属することが受け入れられるだろう．Γ はその全てには属さない．そしてこれは再び同様の仕方で〔示されるだろう〕．下方へも止まることが基礎措定されているから，Γ が属さない項も止まるだろうことは明らかである．

Ὁ δὲ τρίτος τρόπος ἦν· εἰ τὸ μὲν Α τῷ Β παντὶ ὑπάρχει, τὸ δὲ Γ μὴ ὑπάρχει, οὐ παντὶ ὑπάρχει τὸ Γ ᾧ τὸ Α. πάλιν δὲ τοῦτο ἢ διὰ τῶν ἄνω εἰρημένων ἢ ὁμοίως δειχθήσεται. ἐκείνως μὲν δὴ ἵσταται, εἰ δ᾽ οὕτω, πάλιν λήψεται τὸ Β τῷ Ε ὑπάρχειν, ᾧ τὸ Γ μὴ παντὶ ὑπάρχει. καὶ τοῦτο πάλιν ὁμοίως. ἐπεὶ δ᾽ ὑπόκειται ἵστασθαι καὶ ἐπὶ τὸ κάτω, δῆλον ὅτι στήσεται καὶ τὸ Γ οὐχ ὑπάρχον.

一つの方途ではなく全ての方途で示され，あるときは第一格から，あるときは第二ないし第三格から示される場合にも，そのようにしても止まることは明らかである．というのも，方途は限定されており，限定されているものは限定された回数では全て限定されていることは必然であるから．

Φανερὸν δ᾽ ὅτι καὶ ἐὰν μὴ μιᾷ ὁδῷ δεικνύηται ἀλλὰ πάσαις, ὁτὲ μὲν ἐκ τοῦ πρώτου σχήματος, ὁτὲ δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἢ τρίτου, ὅτι καὶ οὕτω στήσεται· πεπερασμέναι γάρ εἰσιν αἱ ὁδοί, τὰ δὲ πεπερασμένα πεπερασμενάκις ἀνάγκη πεπεράνθαι πάντα.

さて，欠如的論証については，属する場合にも止まる以上，止まることは明らかである．後者については，論理学的にはロギコース次のように考察されることが明らかである．

Ὅτι μὲν οὖν ἐπὶ τῆς στερήσεως, εἴπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ὑπάρχειν, ἵσταται, δῆλον. ὅτι δ᾽ ἐπ᾽ ἐκείνων, λογικῶς μὲν θεωροῦσιν ὧδε φανερόν.

要旨

欠如的論証の場合も肯定的論証と同様に止まると言える．
- 「A が Γ に属さない」ことは三通りの仕方で示せる:
  - 第一の方式．AeB, BaΓ (Celarent) のとき，BaΓ は有限 (仮定より)．AeB は，中項 Δ に関して，AeΔ なら ΔaB ... という仕方で，AeX, XaB なる X へと次々に進むことができ，XaB は有限である (仮定より)．
第二の方式．AaB, BeΓ なら AeΓ (Camestres)．これは従前の方式か，あるいは次の方式，あるいは第三の方式で示せる: ΔaB なる Δ があるとき，ΔeΓ ... という仕方で，XaΔ, XeΓ なる最初の X まで進める (仮定より)．
第三の方式．AaB, ΓoB なら ΓoA (Bocardo). BaE のとき ΓoB ... という仕方で，BaX, XoB なる最後の X まで進める (仮定より)．
上記の諸方式を組み合わせても，高々有限である．
肯定的論証の有限性はロギコースに示すことができる (→ 22章)．

先行研究

Bocardo の一節は irrelevant であり竄入が疑われる (Barnes).