『分析論後書』I.19 無限な論証の可能性の問題

APo. I.19.


三つの項を通じて全ての推論はある.そして,ある推論は「A が Γ に属する」ということを,〔A が〕B に属し,B が Γ に属するということを通じて証示できる一方,別の推論は欠如的なもの,すなわち,一方では「あるものが別のものに属する」という前提命題を持ち,他方では「属さない」という別の前提命題を持つものである.したがって,これらが諸原理であり,所謂基礎措定であることは明らかである.というのも,これらを持ちつつ,次のように証示する必要があるからである.すなわち,A は B を通じて Γ に属し,一方で A は別の中項を通じて B に属し,B は同様の仕方で Γ に属する,という仕方で. それゆえ,考えドクサに基づいて,すなわちただ問答法的な仕方で推論する人々にとっては,次のことだけを考察する必要があることは明らかだ.すなわち,推論がそこから生じてよいところの,最も通念的な事柄から,推論が生じているかどうか,ということを.したがって,本当は A と B に何らの中項もありはしないが,あると思われている場合に,そこから推論する人は問答法的に推論している.一方で,真理に向かうには,成り立っている事柄ヒュパルコントーンから考察する必要がある.それは次のようなことである.他のものに関して付帯的でない仕方で述定される事柄があるのだから (私が「付帯的」と言うのは,例えばあの白いものが人間であると私たちが述べるような場合であり,その際私たちは,「人間が白い」とも同じ仕方で語っているわけではない.というのも,その人間は他の何かであることで白いのではなく,白いものであるが,それは,その人間に,白いものであることが付帯しているからである),それゆえ,それ自体として述定されるような,そうしたいくつかのものがある.

Ἔστι δὲ πᾶς συλλογισμὸς διὰ τριῶν ὅρων, καὶ ὁ μὲν δεικνύναι δυνάμενος ὅτι ὑπάρχει τὸ Α τῷ Γ διὰ τὸ ὑπάρχειν τῷ Β καὶ τοῦτο τῷ Γ, ὁ δὲ στερητικός, τὴν μὲν ἑτέραν πρότασιν ἔχων ὅτι ὑπάρχει τι ἄλλο ἄλλῳ, τὴν δ᾽ ἑτέραν ὅτι οὐχ ὑπάρχει. φανερὸν οὖν ὅτι αἱ μὲν ἀρχαὶ καὶ αἱ λεγόμεναι ὑποθέσεις αὗταί εἰσι· λαβόντα γὰρ ταῦτα οὕτως ἀνάγκη δεικνύναι, οἷον ὅτι τὸ Α τῷ Γ ὑπάρχει διὰ τοῦ Β, πάλιν δ᾽ ὅτι τὸ Α τῷ Β δι᾽ ἄλλου μέσου, καὶ ὅτι τὸ Β τῷ Γ ὡσαύτως. κατὰ μὲν οὖν δόξαν συλλογιζομένοις καὶ μόνον διαλεκτικῶς δῆλον ὅτι τοῦτο μόνον σκεπτέον, εἰ ἐξ ὧν ἐνδέχεται ἐνδοξοτάτων γίνεται ὁ συλλογισμός, ὥστ᾽ εἰ καὶ μὴ ἔστι τι τῇ ἀληθείᾳ τῶν Α Β μέσον, δοκεῖ δὲ εἶναι, ὁ διὰ τούτου συλλογιζόμενος συλλελόγισται διαλεκτικῶς· πρὸς δ᾽ ἀλήθειαν ἐκ τῶν ὑπαρχόντων δεῖ σκοπεῖν. ἔχει δ᾽ οὕτως· ἐπειδὴ ἔστιν ὃ αὐτὸ μὲν κατ᾽ ἄλλου κατηγορεῖται μὴ κατὰ συμβεβηκός – λέγω δὲ τὸ κατὰ συμβεβηκός, οἷον τὸ λευκόν ποτ᾽ ἐκεῖνό φαμεν εἶναι ἄνθρωπον, οὐχ ὁμοίως λέγοντες καὶ τὸν ἄνθρωπον λευκόν· ὁ μὲν γὰρ οὐχ ἕτερόν τι ὢν λευκός ἐστι, τὸ δὲ λευκόν, ὅτι συμβέβηκε τῷ ἀνθρώπῳ εἶναι λευκῷ – ἔστιν οὖν ἔνια τοιαῦτα ὥστε καθ᾽ αὑτὰ κατηγορεῖσθαι.

Γ を,それ自体はもはや他のものに属さない一方で,それ〔Γ〕には B が第一のものとして属し,中間に他の項がないようなものだとしよう.さらにまた,E が Z に,またこれ〔Z〕が B に同様の仕方で属するとしよう.そのとき,これは必然的に止まるだろうか,それとも無限に進むことがあってよいだろうか.さらにまた,もし A に何ものもそれ自体として述定されず,その一方で A は Θ に第一のものとして属し,間にはより先の何ものにも属さず,また Θ は H に属し,これ〔H〕は B に属するとき,これも止まることが必然であるのか,それともこれも無限に進むことがあってよいのだろうか.前の場合とこの場合は次の限りで異なる.すなわち前者は,他の何ものにも属さず,他のものがそれに属するようなものから始めて,上方へと無限に進むことがあってよいか〔の考察〕であり,他方は,それ自身が他のものに述定されるが,それには何ものも述定されないようなものから始めて,下方へ無限に進むことがあってよいかの考察だから.

Ἔστω δὴ τὸ Γ τοιοῦτον ὃ αὐτὸ μὲν μηκέτι ὑπάρχει ἄλλῳ, τούτῳ δὲ τὸ Β πρώτῳ, καὶ οὐκ ἔστιν ἄλλο μεταξύ. καὶ πάλιν τὸ Ε τῷ Ζ ὡσαύτως, καὶ τοῦτο τῷ Β. ἆρ᾽ οὖν τοῦτο ἀνάγκη στῆναι, ἢ ἐνδέχεται εἰς ἄπειρον ἰέναι; καὶ πάλιν εἰ τοῦ μὲν Α μηδὲν κατηγορεῖται καθ᾽ αὑτό, τὸ δὲ Α τῷ Θ ὑπάρχει πρώτῳ, μεταξὺ δὲ μηδενὶ προτέρῳ, καὶ τὸ Θ τῷ Η, καὶ τοῦτο τῷ Β, ἆρα καὶ τοῦτο ἵστασθαι ἀνάγκη, ἢ καὶ τοῦτ᾽ ἐνδέχεται εἰς ἄπειρον ἰέναι; διαφέρει δὲ τοῦτο τοῦ πρότερον τοσοῦτον, ὅτι τὸ μέν ἐστιν, ἆρα ἐνδέχεται ἀρξαμένῳ ἀπὸ τοιούτου ὃ μηδενὶ ὑπάρχει ἑτέρῳ ἀλλ᾽ ἄλλο ἐκείνῳ, ἐπὶ τὸ ἄνω εἰς ἄπειρον ἰέναι, θάτερον δὲ ἀρξάμενον ἀπὸ τοιούτου ὃ αὐτὸ μὲν ἄλλου, ἐκείνου δὲ μηδὲν κατηγορεῖται, ἐπὶ τὸ κάτω σκοπεῖν εἰ ἐνδέχεται εἰς ἄπειρον ἰέναι.

さらに,両端項が規定されてしまっているときに,中間諸項が無限にあることはあってよいだろうか.私が言うのは,例えば,A が Γ に属し,B がそれらの中項であり,B と A には他の諸中項があり,それらには別の諸中項があるとき,これらも無限に進むことがあってよいか,それとも不可能であるか,ということだ.これを考察することは,論証が無限に行くかどうか,また全ての事柄に論証があるのか,それとも互いに関して限界づけられているのか〔を考察すること〕と同じである.

Ἔτι τὰ μεταξὺ ἆρ᾽ ἐνδέχεται ἄπειρα εἶναι ὡρισμένων τῶν ἄκρων; λέγω δ᾽ οἷον εἰ τὸ Α τῷ Γ ὑπάρχει, μέσον δ᾽ αὐτῶν τὸ Β, τοῦ δὲ Β καὶ τοῦ Α ἕτερα, τούτων δ᾽ ἄλλα, ἆρα καὶ ταῦτα εἰς ἄπειρον ἐνδέχεται ἰέναι, ἢ ἀδύνατον; ἔστι δὲ τοῦτο σκοπεῖν ταὐτὸ καὶ εἰ αἱ ἀποδείξεις εἰς ἄπειρον ἔρχονται, καὶ εἰ ἔστιν ἀπόδειξις ἅπαντος, ἢ πρὸς ἄλληλα περαίνεται.

欠如的推論や欠如的前提命題についても同様であると私は言う.例えば,A がいかなる B にも属さないなら,第一のものとしてか,あるいは,何か中間のものがあり,それは〔Aが〕それに属さないようなより先のもの (例えば,全ての B に属する H) であるだろうし,そしてまた,これとは別のより先のもの (例えば全ての H に属する Θ) であるだろう.というのも,これらの場合にも,〔何らかの項が〕属する先立つ諸項が無限であるか,止まるかだから.

Ὁμοίως δὲ λέγω καὶ ἐπὶ τῶν στερητικῶν συλλογισμῶν καὶ προτάσεων, οἷον εἰ τὸ Α μὴ ὑπάρχει τῷ Β μηδενί, ἤτοι πρώτῳ, ἢ ἔσται τι μεταξὺ ᾧ προτέρῳ οὐχ ὑπάρχει (οἷον εἰ τῷ Η, ὃ τῷ Β ὑπάρχει παντί), καὶ πάλιν τούτου ἔτι ἄλλῳ προτέρῳ, οἷον εἰ τῷ Θ, ὃ τῷ Η παντὶ ὑπάρχει. καὶ γὰρ ἐπὶ τούτων ἢ ἄπειρα οἷς ὑπάρχει προτέροις, ἢ ἵσταται.

だが,換位する諸項については同様ではない.というのも,相互に述定される事柄のうちには,第一の事柄,あるいは最終項であるそれに〔何かが〕述定されるところのものはありはせず,それに述語付けられるものが無限なのであれ,問題とされていることどもが両方とも無限なのであれ.全ての項が全ての項に対して同じ仕方で同じようにあるからである.同様にではなく,むしろある時は付帯的に,あるときは述定として換位されることがあってよいのでない限りは.

Ἐπὶ δὲ τῶν ἀντιστρεφόντων οὐχ ὁμοίως ἔχει. οὐ γὰρ ἔστιν ἐν τοῖς ἀντικατηγορουμένοις οὗ πρώτου κατηγορεῖται ἢ τελευταίου πάντα γὰρ πρὸς πάντα ταύτῃ γε ὁμοίως ἔχει, εἴτ᾽ ἐστὶν ἄπειρα τὰ κατ᾽ αὐτοῦ κατηγορούμενα, εἴτ᾽ ἀμφότερά ἐστι τὰ ἀπορηθέντα ἄπειρα· πλὴν εἰ μὴ ὁμοίως ἐνδέχεται ἀντιστρέφειν, ἀλλὰ τὸ μὲν ὡς συμβεβηκός, τὸ δ᾽ ὡς κατηγορίαν1.

要約

(-- は肯定的 (全称的) 述定,- はそのうち無中項のもの,// は否定的 (特称的) 述定を示す.)

  • 推論は三項 A, B, Γ を持つ.
    • 肯定的推論は,A--Γ を A--B--Γ という仕方で示す.
      • 欠如的 (否定的) 推論は,「α が β に属し,β は γ に / γ は α に属さない」という形を取る.
    • A-B-Γ は,さらに A--B, B--Γ 間を埋める必要がある.
      • ゆえに,前提 A--B, B--Γ は基礎措定である2
        • 考えドクサに基づいて推論する場合,各々がエンドクサであればよい.
        • だが,推論を通じて真理に向かうには,各々が成り立っている (i.e.?, 自体的に述定される) 必要がある.
  • 以下の項連鎖は無限に進むだろうか:
    • (a) ... -E-Z-B-Γ.
    • (b) A-Θ-H-B- ...
    • これらは上方に進むか下方に進むかが異なる.
  • また端項が定まっている場合はどうか: A-B- ... -Γ.
  • 欠如的推論の場合も同様の問いが成り立つ: A//B のとき,A// ... -Θ-H-B は無限に進むだろうか.
  • 相互に換位される項の場合は,第一の / 最後の項が存在しないので,こうした問いは成立しない.

先行研究

  • 81b18: 自体性III, i.e. natural predication (Barnes).

  1. この κατηγορία は術語的 (高橋 405).ただ Cat. で規定される意味でのそれかは即断できない.

  2. I.10 の意味で.