APo. I.20 (82a21-35).
さて，中間の諸項が無限にあることがあってはならないということは，諸述定が上方へも，また下方へも止まるのならば，明らかである．私が「上方」と言うのは，いっそう普遍的な事柄の方への述定であり，「下方」と言うのは，部分的な事柄の方への述定である．というのも，A が Z に述定されるときに，中間諸項が無限にあるとき，それらを B と呼ぶなら，その結果，A から下方へと，あるものが別のものに無限に述定されることもあってよいだろうことは明らかであり (というのも，Z に来る前に，中間諸項が無限にあるから)，また Z から上方へと〔あるものが別のものに〕無限に，A に来る前に〔述定されることもあってよいだろうことは明らかである〕．したがって，こうしたことが不可能なら，A と Z の中間項が無限にあることも不可能である．というのも，ひとが「A, B, Z の項連鎖は互いに連続しており，それゆえ中間項はない」と言うとしても，「他の項連鎖は受け入れられない」と言うとしても，違いがないから．というのも，B に属する項を私が受け入れるなら，A の方への，または Z の方への中間諸項が無限にあるか，そうでないかであるだろう．どこから第一の項が無限にあるかは，直接であろうと直接でなかろうと，どちらでもよい．というのも，それらの後に無限にあるのだから．
Ὅτι μὲν οὖν τὰ μεταξὺ οὐκ ἐνδέχεται ἄπειρα εἶναι, εἰ ἐπὶ τὸ κάτω καὶ τὸ ἄνω ἵστανται αἱ κατηγορίαι, δῆλον. λέγω δ᾽ ἄνω μὲν τὴν ἐπὶ τὸ καθόλου μᾶλλον, κάτω δὲ τὴν ἐπὶ τὸ κατὰ μέρος. εἰ γὰρ τοῦ Α κατηγορουμένου κατὰ τοῦ Ζ ἄπειρα τὰ μεταξύ, ἐφ᾽ ὧν Β, δῆλον ὅτι ἐνδέχοιτ᾽ ἂν ὥστε καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ κάτω ἕτερον ἑτέρου κατηγορεῖσθαι εἰς ἄπειρον (πρὶν γὰρ ἐπὶ τὸ Ζ ἐλθεῖν, ἄπειρα τὰ μεταξύ) καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἄνω ἄπειρα, πρὶν ἐπὶ τὸ Α ἐλθεῖν. ὥστ᾽ εἰ ταῦτα ἀδύνατα, καὶ τοῦ Α καὶ Ζ ἀδύνατον ἄπειρα εἶναι μεταξύ. οὐδὲ γὰρ εἴ τις λέγοι ὅτι τὰ μέν ἐστι τῶν Α Β Ζ ἐχόμενα ἀλλήλων ὥστε μὴ εἶναι μεταξύ, τὰ δ᾽ οὐκ ἔστι λαβεῖν, οὐδὲν διαφέρει. ὁ γὰρ ἂν λάβω τῶν Β, ἔσται πρὸς τὸ Α ἢ πρὸς τὸ Ζ ἢ ἄπειρα τὰ μεταξὺ ἢ οὔ. ἀφ᾽ οὗ δὴ πρῶτον ἄπειρα, εἴτ᾽ εὐθὺς εἴτε μὴ εὐθύς, οὐδὲν διαφέρει· τὰ γὰρ μετὰ ταῦτα ἄπειρά ἐστιν.
内容要旨
- 述定が上方へも下方へも止まるならば，中間項は有限である．
- ∵ 「Z は A である」という項連鎖 A-B-Z があるとき (B は項連鎖)，B が無限なら，
- a1 は A であり，a2 は a1 であり，…… Z は a∞ である，ということが可能になり，
- Z は z1 であり，z1 は z2 であり，…… z∞ は A である，ということが可能になる．(しかるに，どちらも不可能．)
- B の部分集合 S を受け入れるなら，A と S，あるいは S と Z の間に無限個の項がある (?)1．
- ∵ 「Z は A である」という項連鎖 A-B-Z があるとき (B は項連鎖)，B が無限なら，
-
ὁ γὰρ ἂν λάβω τῶν Β と直前とのつながりがよく分からない．↩